Q9. ディオパントスの問題(1)(解答:6ページ)

※以下の問題の答えは無数にあります。そのうちの1つを求めればOKです。なお、ディオパントスの問題における「平方数」とは、有理数の2乗の値である数のことです。たとえば、[math](\frac{11}{17})^2[/math]は平方数で、[math](\sqrt{6})^2[/math]は平方数ではありません。

[math]ab+12,bc+12,ac+12[/math]のそれぞれが平方数であるような相異なる数[math]a,b,c[/math]を求めよ。
(『算術』巻3,問題10)

[ヒント:[math]{\large \frac{1}{4}}+12={\large \frac{49}{4}}={\large (\frac{7}{2})^2}[/math]]

Q10. ディオパントスの問題(2)(解答:6ページ)

※Q9と同様に答えは無数にありますが、そのうちの1つを求めればOKです。

等比数列をなす3つの数のそれぞれから12を引いたものが、どれも平方数になるようにせよ。

《表現を変えると以下のとおり》
[math]a-12,ab-12,ab^2-12[/math]がそれぞれ平方数となるような[math]a,b[/math]を求めよ。
(『算術』巻5、問題1)

<解答編>ウォーミングアップ・幾何

A1. 円上の2点

1つの点を(1,0)に固定し、もう1点を下図のように0≦θ≦πで動かして2点間の距離の平均値をとれば、それが答え。

q1-2

2点間の距離(正の値)は

[math]\begin{align*}\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}&=\sqrt{2-2\cos\theta}\\&=\sqrt{4\sin^2\frac{\theta}{2}}\\&=2\sin\frac{\theta}{2}\end{align*}[/math]

したがって答えは、

[math]\begin{align*}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}2\sin\frac{\theta}{2}d\theta&=\frac{1}{\pi} \left[-4\cos\frac{\theta}{2}\right]^\pi_0\\&=\frac{4}{\pi}\end{align*}[/math]

A2. 半円と長方形

下図([math]a>0,b>0,a2+b2=1[/math])より、長方形の面積は、[math]2ab=2\sqrt{a^2b^2}[/math]

q2-2

相加相乗平均の関係より

[math]2\sqrt{a^2b^2}\leqq2×{\large \frac{a^2+b^2}{2}}=1[/math]

(等号が成り立つのは[math]a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}[/math]のとき)

つまり、1辺が[math]{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}[/math]の正方形を左右に2つ並べた形のとき。