web上には「数学知識や数学的思考を問う問題を紹介した記事」がたくさんありますが、タイトルに「東大生の正答率が数%」などとついてる割には論理よりひらめきが要求される問題だった、なんてことも少なくありません。数学好きの中には「もっと本格的な数学難問はないのか」と不満を募らせる人もいることでしょう。

そこで今回は『古典数学の難問101』『数学<超絶>難問』(いずれも小野田博一著、弊社刊)から、数学の問題をレベル別に厳選。ウォーミングアップとしての高校生向け問題から、ヌルさを排除した超難問まで計10問用意しました。

一目見て降参するもよし、解けるまで何日間も挑み続けるもよし。頭を悩ます問題をお楽しみください。

※本記事は「1~3ページ目前半:問題/3ページ後半~6ページ:解答」の構成になっています。
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ウォーミングアップ・幾何(難易度:高校生レベル)

Q1. 円上の2点(解答:3ページ)

半径1の円周上にランダムに2点を置きます。その2点間の直線距離の期待値はいくらになりますか? 

q1-1

Q2. 半円と長方形(解答:3ページ)

半径1の半円があります。下図のように、長方形を、1辺は弦の上として半円に内接させる場合、長方形の面積が最大となるのはどんな長方形のとき?

q2-1

Q3. ケプラーのワイン樽の問題(解答:4ページ)

直立した円柱形をしたワイン樽について、その対角線の長さ[math]\ l\ [/math]が決まっているとき、容積を最大にするためにはどうしたらよいでしょうか?

q3-1