<解答編>代数(難易度:超絶難問)

A9. ディオパントスの問題(1)

[math]4+12=16=4^2, {\large \frac{1}{4}}+12={\large \frac{49}{4}}={\large (\frac{7}{2})^2}[/math] なので、[math]4[/math]と[math]{\large \frac{1}{4}}[/math]を使い、
[math]a=4s, b={\large \frac{1}{s}}, c={\large \frac{1}{4}}s[/math] とおく。

すると[math]ab+12=4^2,bc+12={\large (\frac{7}{2})^2}[/math] なので、[math]ac+12=s^2+12[/math] が平方数になればよい。

これがs+1の平方であるとすると、[math](s+1)^2=s^2+2s+1=s^2+12\\∴s={\large \frac{11}{2}}[/math]

ゆえに解の1つは[math]a=22,b={\large \frac{2}{11}},c={\large \frac{11}{8}}[/math]

A10. ディオパントスの問題(2)

まず、c2-12=d2となるcを1つ求めます。(c+d)(c-d)=12なので、c+d=12,c-d=1であればよくて、c=[math]{\large \frac{13}{2}}[/math] はこれをみたします。

[math]c^2={\large \frac{169}{4}}[/math]を初項[math]a[/math],公比[math]b={\large \frac{2}{13}}s[/math]として、[math]ab={\large \frac{13}{2}}s,ab^2=s^2[/math]

[math]s^2-12=t^2, {\large \frac{13}{2}}s-12=u^2[/math] とおくと、

[math]t^2-u^2=s^2-{\large \frac{13}{2}}s=s(s-{\large \frac{13}{2}})=(t+u)(t-u)[/math]

[math]s=t+u, s-{\large \frac{13}{2}}=t-u[/math] とすると、2式の差より[math]u={\large \frac{13}{4}}[/math]

[math]{\large \frac{13}{2}}s-12=({\large \frac{13}{4}})^2[/math] より、[math]s={\large \frac{361}{104}}[/math]で、これは与えられた条件を満たします。

したがって、解の1つは[math]a={\large \frac{169}{4}}, b={\large \frac{2}{13}・\frac{361}{104}=\frac{361}{676}}[/math]


高校レベルから超難問まで代数・幾何織り交ぜた計10問、あなたはいくつ解けましたでしょうか?

歴史や科学で新たな発見があるたびに正解が書き換わっていくように、数学もまた時代によって難度が変わっていきます(たとえばQ3のワイン樽の問題などは、現在ではそう難しくありませんが、微分の考え方がまだ存在しなかった当時は難問とされていました)。

古典数学の難問101』『数学<超絶>難問』には、下記のコンセプトに基づいて「超難問」から「手ごろな難問」、ときには簡単な問題まで多数収録されています。

昔の人が成し遂げた快挙を、知識として知っていると、再発見する喜びが得られません――が、知らない人は、再発見して、それを生涯密かに誇りに思っていられますね。

その「再発見」の機会を与えるのが本書の主な役割です。

(『数学<超絶>難問』はじめにより)

数学の面白さに目覚めた方は、ぜひこの2冊を手に取り、ほかの難問に挑んでみてください。

[出典 ※それぞれ、web掲載にあたり問題文の一部に加筆・修正等を行っています]
Q2,4,5,7,8,9,10……『古典数学の難問101』より
Q1,3,6……『数学<超絶>難問』より